РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 1818 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: III

Треугольники

АС  — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ABC и ADC. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите квадрат длины отрезка BD, если $AB=8 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ $BC=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ AD  =  DC.

Решение. Проведем в треугольнике ABC высоту BH. Находим:

$BH= дробь: числитель: AB умножить на BC, знаменатель: AC конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из 5 умножить на 3 корень из 2 , знаменатель: корень из: начало аргумента: 64 умножить на 5 плюс 9 умножить на 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 24 корень из 5 , знаменатель: 13 конец дроби$

и $AD= дробь: числитель: AC, знаменатель: корень из 2 конец дроби =13.$ Значит,

$AH в квадрате =AB в квадрате минус BH в квадрате =64 умножить на 5 минус дробь: числитель: 576 умножить на 5, знаменатель: 169 конец дроби = дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби \Rightarrow AH= дробь: числитель: 80 корень из 8 , знаменатель: 13 конец дроби .$

Тогда по теореме косинусов

$HD в квадрате =AH в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AH умножить на AD умножить на косинус 45 градусов=$
$= дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби плюс 169 минус 2 умножить на дробь: числитель: 80 корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби умножить на 13 умножить на дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби плюс 169 минус 320= дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби минус 151.$ $HD в квадрате =AH в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AH умножить на AD умножить на косинус 45 градусов=$
$= дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби плюс 169 минус 2 умножить на дробь: числитель: 80 корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби умножить на 13 умножить на дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби плюс 169 минус 320= дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби минус 151.$

Далее, по теореме Пифагора

$BD в квадрате = дробь: числитель: 64 умножить на 800, знаменатель: 169 конец дроби минус 151 плюс дробь: числитель: 576 умножить на 5, знаменатель: 169 конец дроби = дробь: числитель: 320 левая круглая скобка 160 плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: 169 конец дроби минус 151=169.$

Ответ: 169.

Ответ: 169

1818

169

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2021

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1818	169